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    Formulaire de report


    Famille uniformément intégrable \((X_i)_{i\in I}\)
    Famille de v.a. Réelles telles que $$\sup_{i\in I}{\Bbb E}[\lvert X_i\rvert\Bbb 1_{\{\lvert X_i\rvert\gt a\} }]\underset{a\to+\infty}\longrightarrow0$$
    • une telle famille est bornée dans \(L^1\) (toutes les normes \(\lVert\cdot\rVert_1\) sont finies)
    • les familles dominées par \(Z\in L^1\) ou bornées dans \(L^p\) avec \(p\gt 1\) sont u.i.
    • caractérisations :
            
      1. Si la famille est bornée dans \(L^1\) : intégrer sur un petit ensemble donne un petit résultat : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0,\forall A\in\mathcal A,\quad {\Bbb P}(A)\lt \delta\implies\forall i\in I,{\Bbb E}[\lvert X_i\rvert\Bbb 1_A]\lt \varepsilon$$

        
  • Si la famille est dénombrable, dans \(L^1\) et qu'on a la converge en probabilité \(X_n\overset{({\Bbb P})}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} X\) : on a la Convergence L1 \(X_n\overset{L^1}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} X\)
    • si \(X\in L^1\), alors l'ensemble des Espérance conditionnelles \(\{{\Bbb E}[X|{\mathcal B}]\mid{\mathcal B}\text{ sous-tribu de }\mathcal A\}\) est u.i.


    Questions de cours

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Donner un exemple de famille u.i.
    Verso:

    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END
    Montrer que la famille \(\{X\}\) avec \(X\in L^1\) est u.i.

    On utilise le TCD.


    Démontrer :

    On peut séparer \({\Bbb E}[\lvert X_i\rvert]\) via une indicatrice qui indique si c'est inférieur ou supérieur à \(a_0\), avec \(a_0\) assez grande pour que le \(\sup\) de la définition soit \(\leqslant1\).


    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Donner un exemple de famille bornée dans \(L^1\), mais qui n'est pas u.i.
    Verso:

    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END
    Démontrer 1)

    Pour tout \(i\), on peut majorer par \(Z\) dans la définition, ce qui nous donne bien une limite nulle.


    Démontrer 2)

    On peut majorer l'espérance de la définition via une Inégalité de Hölder.

    En utilisant l'Inégalité de Markov pour majorer la probabilité, on peut conclure (c'est un \(\times\), pas un \(+\)).



    Démontrer \((i)\implies(ii)\) :

    On va montrer que la propriété est vraie avec \(\delta=\frac\varepsilon{2a_0}\), avec \(a_0\) assez grand pour borner l'espérance de la condition par \(\frac\varepsilon2\) pour tout \(i\).

    En effet, si \({\Bbb P}(A)\lt \delta\), alors on peut séparer l'intégrale de la condition en ajoutant une deuxième indicatrice qui indique si on est plus petit ou plus grand que \(a_0\), et majorer chaque partie.


    Démontrer \((ii)\implies(i)\) :

    On a une borne par hypothèse.

    On peut alors utiliser l'Inégalité de Markov pour majorer \({\Bbb P}(\lvert X_i\rvert\gt a)\) (en plus, la borne est décroissante en fonction de \(a\)).

    Si on prend \(a_0\) assez grand pour que la borne obtenue soit plus petite que \(\delta\), alors on a bien l'espérance de la condition arbitrairement petite.


    Démontrer :

    On utilise le fait qu'un singleton forme une famille u.i. Avec \(\{X\}\), et on utilise la caractérisation avec \(\delta\) et \(\varepsilon\) (ok car \(X\in L^1\)).

    On peut majorer la probabilité que la norme de l'espérance conditionnelle soit supérieure à \(a\) quelconque via l'Inégalité de Markov.

    On peut alors trouver \(a_0\) tq cette borne soit \(\lt \delta\).

    Pour \(a\gt a_0\), on peut alors majorer en utilisant le fait que l'indicatrice est définie sur \({\mathcal B}\), et que son événement est de probabilité \(\lt \delta\), et utiliser la caractérisation (puisqu'on a dit que \(\{X\}\) était u.i.).


    Démontrer \((i)\implies(ii)\) dans :

    Par complétude de \(L^1\), il suffit de montrer que la suite est de Cauchy.

    La famille des différences est également u.i., et on prend \(a_0\) telle que l'espérance de la définition soit plus petite que \(\varepsilon\).

    On sépare \(\lVert X_n-X_m\rVert_1\) en fonction d'une indicatrice qui indique si la distance est plus grande/petite que \(\varepsilon\) ou \(a\).

    On peut alors majorer chaque partie, en séparant encore pour le cas \(\geqslant a\) et en faisant tendre \(n\to+\infty\) d'un côté et \(m\to+\infty\) de l'autre.


    Démontrer \((ii)\implies(i)\) dans :

    On veut montrer que la suite vérifie la caractérisation avec les \(\delta\) et les \(\varepsilon\).

    Puisqu'on a la convergence \(L^1\), à partir d'un certain rang la distance est \(\lt \varepsilon\) \(\to\) les v.a. Précédentes forment une famille finie, qui est alors u.i., donc on peut utiliser la caractérisation pour elles.

    Dans le cas \(i\gt N\), on peut majorer via l'\(\ne\!\!\!\triangle\) \(\lvert X_i\rvert\leqslant\lvert X_N\rvert+\lvert X_i-X_N\rvert\), ce qui donne la borne.